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高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念(教师用书)教案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案VIP免费

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第1章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学习目标核心素养1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点、难点)4.理解函数的平均变化率,瞬时变化率及导数的概念.(易混点)1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习,培养学生的数学抽象核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及导数的学习,培养逻辑推理及数学运算的核心素养.1.函数的平均变化率(1)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为=,其中Δx=x2-x1是相对于x1的一个“增量”,Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”.(2)平均变化率的几何意义设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f(x)的平均变化率==为割线AB的斜率,如图所示.思考:Δx,Δy的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值?[提示]Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为零.平均变化率可正、可负、可为零.2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.(2)函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即lim=lim.3.导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,记作f′(x0)或y′|,即f′(x0)=lim.1.函数y=f(x),自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的改变量Δy为()A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)D[Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故选D.]2.若一质点按规律s=8+t2运动,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是()A.4B.4.1C.0.41D.-1.1B[====4.1,故选B.]3.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是________.2[ f(x)=x2.∴在x=1处的瞬时变化率是lim=lim=lim=lim(2+Δx)=2.]4.函数f(x)=2在x=6处的导数等于________.0[f′(6)=lim=lim=0.]求函数的平均变化率【例1】已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):(1)从0.1到0.2的平均变化率;(2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.[解](1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平均变化率为=0.9.(2)f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3x+5)=3x+6x0Δx+3(Δx)2+5-3x-5=6x0Δx+3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx.1.求函数平均变化率的三个步骤第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1;第二步,求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);第三步,求平均变化率=.2.求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率,可用的形式.[跟进训练]1.如图所示,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于()A.1B.-1C.2D.-2B[平均变化率为=-1.故选B.]2.已知函数y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则的值为()A.4B.4xC.4+2Δx2D.4+2ΔxD[==4+2Δx.故选D.]求瞬时速度[探究问题]1.物体的路程s与时间t的关系是s(t)=5t2,如何计算物体在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度?[提示]Δs=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,==10+5Δt.2.当Δt趋近于0时,探究1中的平均速度趋近于多少?怎样理解这一速度?[提示]当Δt趋近于0时,趋近于10,这时的平均速度即为当t=1时的瞬时速度.【例2】某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1s时的瞬时速度.思路探究:―――→―→[解] ===3+Δt,∴lim=lim(3+Δt)=3.∴物体在t=1处的瞬时变化率为3.即物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s.1.(变结论)在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.[解]求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. ===1+Δt,∴lim(1+Δt)=1.∴物体在t=0时的瞬时变化率为1,即物体的初速度为1m/s.2.(变结论)在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又==(2t0+1)+Δt.lim=lim(2t0+1+Δt)=2t0+1.则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.求运动物体瞬时速...

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