圆锥曲线047.（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）设C1的方程为,C2的方程为,其中．..2分C1,C2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分C2的方程为．当m=时，A,C．.………………………………………….5分又,所以，，解得a=2或a=(舍)，………….…………..6分C1,C2的方程分别为，．………………………………….7分（Ⅱ）A(-,m),B(-,m)．…………………………………………9分OB∥AN,,,．…………………………………….11分，，．………………………………………12分，，．...........................13分8.（本小题满分14分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.【答案】解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为……3分（Ⅱ）设，，，法一：因为直线不经过点，所以直线一定有斜率设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：…………6分直线的方程为：，即，令，得……9分同理可得：…10分又，所以…13分所以，即为定值…………14分法二：设直线方程为与抛物线方程联立得到，消去，得：则由韦达定理得：………………6分直线的方程为：，即，令，得…9分同理可得：……10分又，……12分所以，即为定值……………13分9.（本小题共14分）已知椭圆C：，左焦点，且离心率(Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证：直线过定点,并求出定点的坐标.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：……1分解得………2分所以椭圆的方程为：……3分（II）证明：由方程组…4分整理得………..5分设则…….6分由已知，且椭圆的右顶点为………7分………8分即也即……10分整理得：……11分解得均满足……12分当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分当时，直线的方程为,过定点故直线过定点，且定点的坐标为…….14分10.（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．【答案】（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为．…………………4分（Ⅱ）将代入并整理得，解得．…………………7分（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．设，，则．…………………9分所以直线的斜率互为相反数．…………………14分11.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率．【答案】（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，……………………1分则，．…………………………………………2分所以，…………………………………3分所以椭圆方程为．…………………………………………4分（Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直．…………………………………………6分于是，设直线的方程为，点，，…7分则整理得，…8分，…………………………………………9分所以．………………………………………10分因为四边形为平行四边形，所以，………………………………………11分所以点的坐标为，……………………………12分所以，……………………………13分解得，所以．……………14分12.（本小题满分14分）如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．【答案】（Ⅰ）解：依题意，设直线的方程为．…………1分将其代入，消去，整理得．……...
