中学学科网学海泛舟系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料常用的数学方法【考核提要】数学是一个有机的整体,各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透,从而构成了一个互相交错的立体空间.所以,为了将数学学习中的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及应用数学知识分析解决实际问题的能力,在复习阶段有机地综合起来,除了在学习中逐步形成各单元知识结构,认真剖析各章节典型例题,仔细分析练习中出现的各类错误这几个重要环节外,我们必须对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视,并有意识地运用一些数学思想方法去解决问题,这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.数学除了是一门科学理论外,它还是一种科学方法.科学如果没有方法,就象它没有理论一样不可想象.常用的数学方法,是针对各种不同的数学知识而定的一种策略,是解决数学问题的工具.不同的问题可以用不同的方法,相同的问题也可以有各种不同的方法(即所谓的一题多解).各种数学方法与数学知识一样,是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富,并且是数学知识所不能替代的.在解决数学问题的过程中,最常用的数学方法当推以下10种:1.配方法;2.换元法;3.消元法;4.降幂法;5.参数法;6.解析法;7.反证法;8.判别式法;9.待定系数法;10.数学归纳法.另外还有综合法,比较法,分析法,图象法,几何法,等积法,构造法,配对法,联想法,类比法,立体几何中的割补法,解析几何中的定义法等等.同学们都应该在复习过程的实践中不断总结,争取达到将各类方法融会贯通,遇到问题能做到信手拈来的境界.【范例透析】配方法----在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方、完全立方等形式，从而再利用诸如完全平方项非负等性质，达到增加题目的条件等,从而达到解决数学问题的目的.配方法主要用在多元代数式求值、无理式的证明或化简及求解方程等方面.例1已知,求角和.分析在学数学的初级阶段,我们已经知道对于两个未知数一个方程的问题,一般应以配方的手段,如等,来得到其确定的解,否则将是一不定的方程.本例是以三角函数形式给出的方程,有两个未知数,并且看上去没有二次项,因此我们想通过各类三角变形来达到解题的目的.下面提供两种不同的配方方法,应该说第二种方法更为巧妙.解1由条件和差化积及升幂得:,即,可配方成,则可得中学学科网学海泛舟系列资料WWW.ZXXK:COM版权所有@中学学科网中学学科网学海泛舟系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料或.由,可知只有.解2由条件及两角和公式得:移项可配方为.则有且及,可得以上结论.说明此例作为一道开拓思维的训练题,请同学们还可以从不同的角度,以不同的方法,讨论解决之.换元法----数学中的“元”指的是未知数.用新的未知数去替换原条件中的旧未知数或数字或代数式，从而使较为复杂的式子结构简化.其实质上是一种化繁为简，化难为易的数学转化思想的具体体现,可以达到熔化难点,加快解题速度,事半功倍之效.例2当时,求函数的最小值.解令,则.所以当时,;当时,应取,此时.说明在初中时,遇到解方程类,也是通过换元来解决的,但我们认为这是属于可换可不换的类型.而象本例,及高考卷中曾出现的求函数的最值类的题目,却是属于必须换元的题目.消元法----在众多纷纭的头绪中,抓住主要矛盾进行突破,是解决问题的重要策略之一.我们在数学学习中,是从一元,二元到多元,但在解决问题的过程中,应该是尽量从多元向一元转化,以使问题变得简捷明了,易于解决.例3集合.证明:存在惟一非零整数,使.解化简两个集合:,.应找到惟一非零整数,使直线与抛物线有交点.联立直线与抛物线方程,消元得,由判别式,解得中学学科网学海泛舟系列资料WWW.ZXXK:COM版权所有@中学学科网中学学科网学海泛舟系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料.符合条件的只有-1,1,2,经检验,其中只有能使.∴存在惟一非零整数,使.说明1.本例条件中的字母多达5个,在消元过程中应注意“消什么与怎样消”.2.这个例题的另一方面是应正确理解集合语言及看清题目中的条件.降幂法----将未知领域的问题向已知领域转化,也是数学问题解决中重要的化归思想的体现.在代数中将高次的问题转化为低次的问题来解决,在几何中将三维空间的问题转化为...
