2.直线与平面垂直2.1直线与平面垂直的定义【例1】给出下列四个命题：①直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线和平面垂直；②若直线和平面内的任何一条直线都垂直，则这条直线和平面垂直；③直线垂直于梯形两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的平面；④若直线垂直于梯形两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的平面．其中正确的命题共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】①当直线不相交时，线面不平行，①不正确；②由线面垂直定义知②正确；③梯形两腰所在的直线是两相交直线，故直线垂直于梯形所在平面，故③正确；④梯形两底边所在的直线是平行直线，故④不正确．选B．【评注】如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面互相垂直.【变式】考查空间中直线的位置关系，合理地构造几何模型进行判断即可．设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）A.B.C.D.【解析】借助于生活中的几何模型可知A、B、C，答案为D.2.2直线与平面垂直的判定【例2】如图，在四棱锥中，平面是的中点.证明：⊥平面.【解析】连接AC，由AB=4，3BC，905.ABCAC,得因为是的中点，所以.CDAE,,PAABCDCDABCD平面平面所以.PACD而,PAAE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.【评注】直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，其推理模式：．【变式1】平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么，其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，其推理模式：．如图，四棱锥，底面是矩形，平面底面.求证：.【解析】因为底面是矩形，所以，因为平面底面，又，1DCABEFM所以．【变式2】直线与平面垂直的性质：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，其推理模式：．如图1，在直角梯形ABCD中，//,,2ADBCBADABBC12ADa，E是AD的中点，O是OC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图2中1ABE的位置，得到四棱锥1ABCDE.证明：CD平面1AOC；【解析】在图1中，//,,2ADBCBADABBC12ADa，E是AD的中点，所以；在图2中，，则平面，又，故CD平面1AOC.【变式3】平面与平面平行的性质：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，其推理模式：．设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面.A.B.C.若，，，则D.解析：由空间线面关系及线线平行、线面平行、线面垂直定理易知A,B,D是错误的，只有C正确.2.3直线与平面垂直的性质【例3】已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，证明：．【证明】过作于H点，则由得为的平分线．又底面ABCD是菱形，故，又，所以，所以，故．【评注】直线与平面垂直是“线线垂直、线面垂直、面面垂直”相互转化的重要桥梁。【变式】直线经过正多边形的中心且与其所在平面垂直，则直线上的点到各个顶点的距离相等.如图，在正方体中，为对角线的三等分点，到各顶点的距离的不同取值有（）2BAHCDD1B1A1C1PB1A1C1BAD1DCA.3个B.4个C.5个D.6个【解析】不妨设正方体的边长为1，，平面于，利用对称性可知是正的中心，则，同理，因此P到各顶点的距离的不同取值有4个.3
