3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示[课时作业][A组基础巩固]1．下列说法中正确的是()A．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且只有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底{a，b，c}中的基向量与基底{e，f，g}的基向量对应相等解析：只有不共面的三个非零向量才能作空间向量的基底，基底不唯一，因此A，B，D均不正确，C正确，故选C.答案：C2．O，A，B，C为空间四个点，又{OA，OB，OC}为空间的一个基底，则()A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点中任意三点不共线D．O，A，B，C四点不共面解析：由于{OA，OB，OC}为空间的一个基底，所以OA，OB，OC不共面，因此，O，A，B，C四点一定不共面，故选D.答案：D3.如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，MN＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为()A.，－，B．－，，C.，，－D.，，－解析：MN＝MA＋AB＋BN＝OA＋(OB－OA)＋BC＝OA＋(OB－OA)＋(OC－OB)＝－OA＋OB＋OC，∴x＝－，y＝，z＝，故选B.答案：B4．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A．向量AB的坐标与点B的坐标相同B．向量AB的坐标与点A的坐标相同C．向量AB与向量OB的坐标相同D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同解析：因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；B，C都不正确；由于AB＝OB－OA，所以D正确，故选D.答案：D5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则BE等于()A.1B.C.D.解析：B(1,1,0)，E(1，，1)，∴BE＝(1，，1)－(1,1,0)＝(0，－，1)．答案：C6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得答案：1－17．正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中点，若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，∴EF＝A1D，即EF－A1D＝0，∴λ＝－.答案：－8．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析： A，B，C三点共线，∴存在实数k，使AB＝kBC，即OB－OA＝k(OC－OB)，即OA－(k＋1)OB＋kOC＝0，∴1－(k＋1)＋k＝0，故λ＋m＋n＝0.答案：09．若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. {a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面，∴此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间一个基底．10．棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{AB，AD，AA1}为基底，求下列向量的坐标：(1)AE，AG，AF；(2)EF，EG，DG.解析：(1)AE＝AD＋DE＝AD＋DD1＝AD＋AA1＝，AG＝AB＋BG＝AB＋AD＝，AF＝AA1＋A1D1＋D1F＝AA1＋AD＋AB＝.(2)EF＝AF－AE＝(AA1＋AD＋AB)－＝AA1＋AB＝.2EG＝AG－AE＝－＝AB－AD－AA1＝，DG＝AG－AD＝AB＋AD－AD＝AB－AD＝.[B组能力提升]1．已知{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，且a＝－2i＋2j－2k，b＝i＋4j－6k，c＝xi－8j＋8k，若向量a，b，c共面，则向量c的坐标为()A．(8，－8,8)B．(－8,8,8)C．(－8，－8，－8)D．(－8,8，－8)解析： a，b，c共面，∴可设c＝λa＋μb，故∴xi－8j＋8k＝λ(－2i＋2j－2k)＋μ(i＋4j－6k)，由此可得解得x＝8.故向量c的坐标为(8，－8,8)．答案：A2.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝()A.a＋b－cB．－a＋b－cC.a－b－cD．－a－b＋c解析：B1M＝AM－AB1＝(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－AB＋AD－AA1＝－a＋b－c.答案：B3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，用AC，AB1，AD1作为基向量，则AC1＝________.解析：2AC1＝2AA1＋2AD＋2AB＝(AA1＋AD)＋(AA1＋AB)＋(AD＋AB)＝AD1＋AB1＋AC，∴AC1＝(AD1＋AB1＋AC)...
