考点30：异面直线所成的角【考纲要求】1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【典型高考试题变式】（一）空间直线与直线夹角的问题例1.【2017全国3卷（理）】，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所称角的最小值为；④直线与所称角的最小值为；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知，，，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故，，边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．则，，直线的方向单位向量，．点起始坐标为，直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，其中为与的夹角，．那么在运动过程中的向量，．当与夹角为时，即，．因为，所以．所以．因为．所以，此时与夹角为．所以②正确，①错误．故填②③.【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明.一般情形，可通过平移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的角.【变式1】【改编例题中条件，求两直线的夹角】【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°.沿直线AC将ACD翻折成ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______.【答案】【解析】试题分析：如图，连接BD′，设直线与所成的角为．是的中点.由已知得，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，.作于，连接D′H翻折过程中，始终与垂直，则，则，，因此（设∠DHD′=α），则，与平行的单位向量为，HD'DCBAzyxO所以＝，所以时，取得最大值，为．【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】【2017浙江嵊州市二模】在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（）A．对任意的，，存在点，使得B．当且仅当时，存在点，使得C．当且仅当时，存在点，使得D．当且仅当时，存在点，使得【答案】C（二）异面直线的夹角例2.【2017全国2卷（理）】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为），可知，，作中点，则可知为直角三角形．，中，，则，则中，，则中，.又异面线所成角为，则余弦值为．故选C.【方法技巧归纳】1.利用向量法求异面直线所成角的步骤2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．【变式1】【改编题目条件和结论，利用向量法求解】【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学四模】已知正四棱锥中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知．则，则．故本题答案选C．【变式2】【改编题目条件和结论，利用普通方法求解】【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】如图，在四棱锥中，平面，为线段的中点，底面为菱形，若，，则异面直线与所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，平面从而，又所以故，故选B.【数学思想】1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的...
