专题提能三数列的创新考法与学科素养一、选择题1．在数列{an}中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{an}是等比数列，且公比q＝1时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：C2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有解得故选D.答案：D3．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束……)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为()A．91B．105C．120D．210解析：由题意得，从上往下第n层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n＝.∴1＋3＋6＋…＋＝680，即＝n(n＋1)·(n＋2)＝680，∴n(n＋1)(n＋2)＝15×16×17，∴n＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为＝105.答案：B4．(2018·成都联考)等差数列{an}中的a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则a1010的值为()A．－2B．－C．2D．解析：由题易得f′(x)＝3x2－12x＋4，因为a3，a2017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，所以a3，a2017是方程3x2－12x＋4＝0的两个不等实数根，所以a3＋a2017＝4.又数列{an}为等差数列，所以a3＋a2017＝2a1010，即a1010＝2，从而a1010＝2＝－，故选B.答案：B5．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()A．Sn＝2TnB．Tn＝2bn＋1C．Tn＞anD．Tn＜bn＋1答案：D6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则第二天走了()A．192里B．96里C．48里D．24里解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96里，故选B.答案：B7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)解析：a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝·＋·＋…＋·＝n2＝n2＝n2·＝n(n－1)．答案：C8．(2018·衡水中学期末改编)已知函数f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线，当x＞0时，f(x)＜2，对任意的x，y∈R，f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2成立，若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝f()，n∈N*，则a2018的值为()A．2B．C．D．解析：令x＝y＝0得f(0)＝2，所以a1＝2.设x1，x2是R上的任意两个数，且x1＜x2，则x2－x1＞0，因为当x＞0时，f(x)＜2，所以f(x2－x1)＜2，即f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－2＜2＋f(x1)－2＝f(x1)，所以f(x)在R上是减函数．因为f(an＋1)＝f()，所以an＋1＝，即＝＋1，所以＋＝3(＋)，所以{＋}是以1为首项，3...
