高二数学二项式定理辅导课讲义1.二项工定理2.二项展开式的通项它是展开式的第r+1项.3.二项式系数4.二项式系数的性质(1)(2)(3)若n是偶数,有,即中间一项的二项式系数最大.若n是奇数,有,即中项二项的二项式系数相等且最大.(4)(5)(7)(6)(8)以上组合恒等式(是指组合数满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基5.证明组合恒等式的方法常用的有(1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明.(2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.(3)利用数学归纳法.(4)构造组合问题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.6.二项式的应用用心爱心专心115号编辑(1)求某些多项式系数的和。(2)证明一些简单的组合恒等式。(3)证明整除性。①求数的末位;②数的整除性及求系数;③简单多项式的整除问题。(4)近似计算。当|x|充分小时,我们常用下列公式估计近似值:①(1+x)n≈1+nx②(1+x)n≈1+nx+x2(5)证明不等式。1.(2005湖北卷理第14题)的展开式中整理后的常数项为.2.(2001京皖春,3)等于()A.0B.2C.D.3.(2002京皖春理,10)对于二项式(+x3)n(n∈N*),四位同学作出了四种判断:①存在n∈N*,展开式中有常数项②对任意n∈N*,展开式中没有常数项③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项④存在n∈N*,展开式中有x的一次项上述判断中正确的是()A.①③B.②③C.②④D.①④4.(2002京皖春文,10)在(+x2)6的展开式中,x3的系数和常数项依次是()A.20,20B.15,20C.20,15D.15,155.(1999全国理,8)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+ax4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为()A.1B.-1C.0D.26.(2001上海理,8)在代数式(4x2-2x-5)(1+)5的展开式中,常数项为.7.求的展开式中的常数项.8.求的展开式里x5的系数.用心爱心专心115号编辑9.求证:。10.(2001全国理,20)已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n.(1)证明ni<mi;(2)证明(1+m)n>(1+n)m.11.证明下列不等式:(1)≥()n,(a、b∈{x|x是正实数},n∈N);(2)已知a、b为正数,且+=1,则对于n∈N有(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1。12.已知(1-ax)n展开式的第p,p+1,p+2三项的二项式系数构成等差数列,第n+1-p与第n+2-p项的系数之和为0,而(1-ax)n+1展开式的第p+1与p+2项的二项式系数之比为1∶2。(1)求(1-ax)n+1展开式的中间项;(2)求(1-ax)n的展开式中系数最大的项。用心爱心专心115号编辑13.已知a,b均为正整数,且求证:对一切,An均为整数.14.求证下列各式(1)Cnk+Cnk-1=Cn+1k;(2)Cn0Cmp+Cn1Cmp-1+…+CnpCm0=Cm+np。15.已知a,b均为正整数,且求证:对一切,An均为整数.二项式定理辅导课讲义答案1.用心爱心专心115号编辑2.答案:D解析:原式=∴3.答案:D解析:二项式(+x3)n展开式的通项为Tr+1=()n-r(x3)r=xr-n·x3r=x4r-n当展开式中有常数项时,有4-n=0,即存在n、r使方程有解.当展开式中有x的一次项时,有4r-n=1,即存在n、r使方程有解.即分别存在n,使展开式有常数项和一次项.4.答案:C解析:二项式(+x2)6展开式的通项为:Tr+1=∴当Tr+1为x3项时,r=3,∴Tr+1=·x3=20·x3当Tr+1为常数项时,r=2,∴Tr+1==155.答案:A6.答案:15解析:7.由二项式定理得①其中第项为②在的展开式中,设第k+1项为常数项,记为用心爱心专心115号编辑则③由③得r-2k=0,即r=2k,r为偶数,再根据①、②知所求常数项为【评述】求某一项时用二项展开式的通项.8.因为所以的展开式里x5的系数为【评述】本题也可将化为用例1的作法可求得.9.证明:当时,。又=不等式成立。10.证明:(1)方法一:对于m<n,∴k=1,2,…,i-1有∴即mi>ni用心爱心专心115号编辑方法二:ni=·m·(m-1)·(m-2)·…·(m-i+1)=mn·(mn-n)·(mn-2n)·…·[mn-n(i-1)]①同理mi=mn·(mn-m)·(mn-2m)·…·[mn-m(i-1)]② 1<i≤m<n,∴mn-n<mn-m,mn-2n<mn-2m,…,mn-n(i-1)<mn-m(i-1)③∴联系①、②、③可得ni<miAin.(2)由二项式定理:又 而mi>ni∴……又 ∴(1+m)n>(1+n)m评述:此...