课时跟踪检测(二)基本不等式1．下列不等式中，正确的个数是()①若a，b∈R，则≥；②若x∈R，则x2＋2＋≥2；③若x∈R，则x2＋1＋≥2；④若a，b为正实数，则≥.A．0B．1C．2D．3解析：选C显然①不正确，③正确；虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋>2成立，故②正确；④不正确，如a＝1，b＝4.2．已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是()A．3B．4C．5D．6解析：选C∵a＋b＝2×＝1，a>0，b>0，∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋≥1＋＝5，当且仅当a＝b＝时，等号成立．3．(湖北高考)设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．4．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元解析：选C设底面矩形的长和宽分别为am，bm，则ab＝4.容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)．5．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析：∵x＞0，a＞0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝时等号成立，此时a＝4x2，由已知x＝3时函数取得最小值，∴a＝4×9＝36.答案：366．若logx＋logy＝4，则x＋y的最小值是________．解析：由题意知x>0，y>0，logxy＝4，得xy＝4，∴x＋y≥2＝4(当且仅当x＝y时，等号成立)．答案：47．y＝(x>0)的最小值是________．解析：∵x>0，∴y＝＝＋x＋1－1≥2－1.1当且仅当x＋1＝时，等号成立．答案：2－18．已知a，b是正数，求证：(1)≥；(2)≥.证明：(1)左边＝≥＝＝＝右边，原不等式成立．(2)右边＝≤＝＝左边，原不等式成立．9．设x>0，y>0且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：由x>0，y>0且x＋y＝4，得＝1，∴＋＝·＝＝≥＝.当且仅当＝时，等号成立．即y＝2x(∵x>0，y>0，∴y＝－2x舍去)．此时，结合x＋y＝4，解得x＝，y＝.∴＋的最小值为，∴m≤，∴m的取值范围为.10．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中飞行物，即存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立，即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇒Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇒a≤6.所以当a不超过6(千米)时，可击中飞行物．23
