空间向量与垂直关系A级基础巩固一、选择题1．四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是()A．平行B．垂直C．在平面内D．成60°角答案：B2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.PA·AB＝0B.PC·BD＝0C.PC·AB＝0D.PA·CD＝0解析：因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA.又AC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立，故选C.答案：C3.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶1答案：B4．已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：AB＝(－3，－2，－5)，AC＝(－1，4，－1)，则AB·AC＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.所以AB⊥AC，又|AB|≠|AC|，故△ABC为直角三角形．答案：C5．已知直线l1的方向向量a＝(2，－2，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，－2)．若|a|＝3，且a⊥b，则x－y的值是()A．－4或0B．4或1C．－4D．0解析：因为|a|＝＝3，所以x＝±1.又因为a⊥b，所以a·b＝2×2－2y－2x＝0，所以y＝2－x.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝3.所以x－y＝0或x－y＝－4.答案：A1二、填空题6．若l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝________．解析：由l⊥α得，＝＝，即m＝4.答案：47.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．解析：建立空间直角坐标系，如图所示，依题意得B1(0，0，3a)，D，C(0，a，0)．B1D＝，设E(a，0，z)(0≤z≤3a)，则CE＝(a，－a，z)，B1E＝(a，0，z－3a)，CE·B1D＝0.要使CE⊥平面B1DE，即B1E⊥CE，得B1E·CE＝2a2－0＋z2－3az＝0.解得z＝a或2a.答案：a或2a8．已知A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(1，2，1)，点P(x，y，0)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为________．解析：由已知得PA＝(－x，1－y，0)，AB＝(－1，－1，－1)，AC＝(1，1，1)．若PA⊥平面ABC，则即解得x＝0，y＝1.故点P的坐标为(0，1，0)．答案：(0，1，0)三、解答题9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC.2证明：如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)．于是OB1＝(1，1，2)，AC＝(－2，2，0)，AP＝(－2，0，1)．因为OB1·AC＝－2＋2＋0＝0，OB1·AP＝－2＋0＋2＝0，所以OB1⊥AC，OB1⊥AP，所以OB1⊥AC，OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，所以OB1⊥平面PAC.10.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0，0，1)，所以NE＝.又点A，M的坐标分别是(，，0)，，所以AM＝.所以NE＝AM，且NE与AM不共线．所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝，因为D(，0，0)，F(，，1)，所以DF＝(0，，1)．所以AM·DF＝0，所以AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，所以AM⊥平面BDF.B级能力提升1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A答案：B2．空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD，AE的中点，给出如下命题：①AD⊥MN；②MN⊥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面.则所有的正确命题为________．答案：①③3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平3面A1B1P⊥平面C1DE.解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0，1，a)，则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E，C1(0，1，1)，A1B1＝(0，1，0)，A1P＝(－1，1，a－1)，DE＝，DC1＝(0，1，1)．设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⇒所以x1＝(a－1)z1，y1＝0.令z1＝1，得x1＝a－1，所以n1＝(a－1，0，1)．设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则⇒⇒令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，所以n2＝(－2，1，－1)．因为平面A1B1P⊥平面C1DE，所以n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.4
