第一章勾股定理章末小结2018秋季数学八年级上册•B【易错分析】【例1】若一个三角形的三边长分别为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是.5或7【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】设第三边为x.(1)若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32＋42＝x2，所以x＝5；(2)若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32＋x2＝42，所以x＝7.所以第三边的长为5或7.【例2】如图，圆柱的底面周长为8cm，点B距离底面3cm，则在圆柱底面和B正对的圆周上一点A与B的最近表面距离是.【分析】将圆柱的侧面展开，利用勾股定理求出AB的长即可．5cm【解答】如图所示：∵圆柱的底面周长为8cm，∴AC＝12×8＝4(cm)，∵BC＝3cm，∴AB＝AC2＋BC2＝42＋32＝5(cm)．故答案为：5cm.【考点强化训练】勾股定理及应用1．直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为18、8，则较长直角边的长为()A．20B．16C．12D．82．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于()A.1013B．1513C．6013D．7513CC3．如图，正方体盒子的棱长为3，BM＝2，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是()A．5B．4C．6D．74．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为.A645．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝258π，S2＝2π，则S3＝.98π6．如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米．求小明到达的终止点与原出发点的距离．解：过点C作一条虚线CA⊥AB(垂足为A)，因为BA⊥AC于点A，在Rt△ACB中，BC2＝AC2＋AB2.所以BC2＝602＋802＝1002.BC＝100(米)．7．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2＝AP2＋BC2.证明：连接BM，∵MP⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得，BC2＋CM2＝BM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2，∴BP2＝BC2＋AP2.直角三角形的判定8．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a＝13，b＝14，c＝15；②a＝6，∠A＝45°；③∠A＝32°，∠B＝58°；④a＝7，b＝24，c＝25；⑤a＝2，b＝2，c＝4.A．2个B．3个C．4个D．5个9．若△ABC的三边a、b、c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是.A等腰三角形或直角三角形10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝24cm，AD＝BC＝50cm，E是AD上的一点，且AE∶ED＝9∶16，试猜想∠BEC是锐角、钝角还是直角？并证明你的猜想．解：∠BEC是直角．证明：∵AD＝50(cm)，AE∶ED＝9∶16，∴AE＝18(cm)，ED＝32(cm)，又∵∠A＝∠D＝90°，由勾股定理，得BE＝AB2＋AE2＝30(cm)，EC＝ED2＋DC2＝40(cm)，又∵BE2＋EC2＝302＋402＝502＝BC2.∴∠BEC为直角．11．观察下面的表格所给出的三个数a、b、c，a＜b＜c.3、4、532＋42＝525、12、1352＋122＝1327、24、2572＋242＝2529、40、4192＋402＝412……21、b、c212＋b2＝c2(1)试找出它们的共同点，并说明你的结论；(2)当a＝21时，求b、c的值．解：(1)共同点：①都满足较小两个数的平方和等于大数的平方，②最小的一个数是奇数，另外两个数是连续的正整数，③最小一个数的平方等于另两个数的和．即m2＝n＋(n＋1)，m为最小的数；(2)b＝220，c＝221.12．为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km.试问：阅览室E应建在距点A多远，才能使它到C、D两所学校的距离相等？解：设阅览室E到A的距离为xkm，在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2＝AC2＋AE2＝152＋x2,DE2＝BE2＋DB2＝(25－x)2＋102,∵CE＝DE，∴152＋x2＝(25－x)2＋102，∴x＝10,∴阅览室E应建在距点A10km远处．
