在数学研究中，人们会遇到这样的情 况，对于任意正整数 n 或不小于某个数n0 的任意正整数 n ，都有某种关系成立。对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法 ------ 数学归纳法与正整数有关的命题例如： 1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+∈) n2<2n (nN+,N≥5∈), (1+x)n>1+nx (x>-1,nN∈+). n=5,a5=25问题情境一问题 1: 大球中有 5 个小球，如何验证它们都是绿色的？ 完全归纳法不完全归纳法 模 拟 演 示问题 3: 已知： － 1 ＋ 3= 2 － 1 ＋3 － 5= － 3 － 1 ＋3 － 5 ＋ 7= 4 － 1+3－ 5 ＋ 7 － 9= － 5可猜想：－ 1+3 － 5 ＋ …＋（－ 1 ） n （ 2n － 1 ）＝问题 2 ：若 an=(n2- 5n+5)2 ，则 an=1 。对吗？1 1 1 1 当 n=1,a1= ;n=2,a2= ;n=3,a3= ; n=4,a4= ;（－ 1 ） n n问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例01234222222132152117212572165537......费马观察到：猜想：都是质数法国的数学家费马（ Pierre de Fermat ） (1601 年～ 1665 年 ) 。 十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，221()nnFnN 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（ 1 ）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。（ 2 ）不完全归纳法 , 考察部分对象 , 得到一般结论的推理方法。归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。归纳法如何解决不完全归纳法存在的问题呢？必须寻找一种用有限个步骤，就能处理完无限多个对象的方法。 问题情境三 多米诺骨牌操作实验 数学归纳法我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性 . （ 1 ）证明当 n 取第一个值 n0( 例如 n0=1) 时命题成立 （ 2 ）假设当 n=k(k ∈ N ＋ ,k≥ n0 ) 时命题成立 证明当 n=k+1 时命题也成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4…k=10,k+1=10+1=11… 下面我们来证明前面问题 3 中猜想的正确性证明 : (1) 当 n=1 时 , 左边 = － 1, 右边 = － 1, ∴ 左边 = 右边...
