课 题： 第 02 课时 基本不等式教学目标：1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程： 一、知识学习：定理 1：如果 a、b∈R，那么 a 2＋b 2 ≥2ab（当且仅当 a＝b 时取“＝”号）证明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2 当 a≠b 时，（a－b）2＞0，当 a＝b 时，（a－b）2＝0所以，（a－b）2≥0 即 a 2＋b 2 ≥2ab由上面的结论，我们又可得到定理 2（基本不等式）：如果 a，b 是正数，那么 ≥（当且仅当 a＝b 时取“＝”号）证明： （）2＋（）2≥2∴a ＋b≥2，即≥显然，当且仅当 a＝b 时，＝说明：1）我们称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2）a 2＋b 2≥2ab 和≥成立的条件是不同的：前者只要求 a，b 都是实数，而后者要求 a，b 都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.二、例题讲解：例 1 已知 x，y 都是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2； （2）如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2证明：因为 x，y 都是正数，所以 ≥ （1）积 xy 为定值 P 时，有≥ ∴x＋y≥2上式当 x＝y 时，取“＝”号，因此，当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2.（2）和 x＋y 为定值 S 时，有≤ ∴xy≤ S 2教学札记用心 爱心 专心1上式当 x=y 时取“＝”号，因此，当 x=y 时，积 xy 有最大值 S 2.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。例 2 ：已知 a、b、c、d 都是正数，求证：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由 a、b、c、d 都是正数，得≥＞0，≥＞0，∴≥abcd即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为 3m，如果池底每 1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分...
