【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第74讲解析几何问题选讲教案

第 74 讲 解析几何问 题选讲解析几何是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线(包括直线)，用代数方法研究几何问题的一门数学学科．在中学阶段，解析几何研究的主要对象是直线和圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，主要研究的问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程研究平面曲线的性质．在学习的过程中，同学们首先要熟练掌握直线与圆锥曲线的方程的各种表示方法及其适用的范围，并能灵活地选择适当的表示方法以便能快捷地解题．A 类例题 例 1．S 为直线 l1：7x＋5y＋8＝0 和 l2：3x＋4y－13＝0 的交点，点 P(3，7)，Q(11，13)所成的直线 PQ 上有两点 A、B，其中 P 在 A、Q 之间，B 在 P、Q 之间，并且＝＝．不求 S 的坐标，试求出直线 SA 与 SB 的方程．(IMO—30 预选题)解 由题意知，SA 的方程为：(7x＋5y＋8)＋λ(3x＋4y－13)＝0， ①SB 的方程为：(7x＋5y＋8)＋μ(3x＋4y－13)＝0， ②由＝＝及分点公式，得 A、B 的坐标分别为 A(－13，－5)，B(，)．它们分别适合①、②，代入后求得 λ＝－，μ＝－．因此，所求的直线 SA、SB 的方程分别为：SA 的方程 165x－296y＋665＝0；SB 的方程 723x－584y＋1007＝0．例 2．从椭圆＋＝1 的右焦点向它的动切线引垂线，求垂足的轨迹．解法一 设切点为 Q(acosθ，bsinθ)，则椭圆的切线 QP 的方程为 x＋y＝1，即 (bcosθ)x＋(asinθ)y＝ab ①过右焦点 F2(c，0)垂直于切线 QP 的直线 F2P 的方程为(asinθ)x－(bcosθ)y＝acsinθ ②则垂足 P 满足①、②．①2＋② 2得：(x2＋y2)(a2sin2θ＋b2cos2θ)＝a2(b2＋c2sin2θ)＝a2[b2＋(a2－b2)sin2θ]＝a2(b2cos2θ＋a2sin2θ)，显然 b2cos2θ＋a2sin2θ≠0，所以 x2＋y2＝a2．即垂足 P 的轨迹方程为圆 x2＋y2＝a2．解法二 如图，延长 F1Q 与 F2P 交于 R，因为 QP 为 切线，则有∠F2QP＝∠RQP，又 PF2⊥PQ，所以|QR|＝|QF2|，|PR|＝|PF2|．因为|F1Q|＋|F2Q|＝2a，则|F1Q|＋|RQ|＝2a，即|F1R|＝2a，则|OP|＝|F1R|＝a．即垂足 P 的轨迹方程为圆 x2＋y2＝a2．说明 在解题时，若能充分运用图形的几何性质，往往可获得快捷的解法．例 3．设已知三条直线 l1：mx－y＋m＝0；l2：x＋my－m(m＋1)＝0；l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)1F2F1RQPxOy＝0，它们围成 ΔABC．(1)求证：不论 m 为何值，ΔABC 有一个顶点为定点；(2)当 m 为何值时，ΔABC 的面积...