等比数列前 n 项和【考点 1】等比数列{an}的前 n 项和1．等比数列前 n 项和公式：（1）公式：．2．若{an}是等比数列，且公比 q≠1，则前 n 项和 Sn＝（1－qn）＝A（qn－1）．其中 A＝．3．推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前 n 项和． 注意： ① 错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法．② 在求等比数列前项和时，要注意区分和．③ 当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量．例 1 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn （x≠0）．【点拨】分 x＝1 和 x≠1 两种情况讨论，当 x≠1 时利用错位相减法求解．【解析】分 x＝1 和 x≠1 两种情况．（1）当 x＝1 时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝．（2）当 x≠1 时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋（n－1）xn＋nxn＋1，∴（1－x）Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1．∴Sn＝．综上可得 Sn＝．【答案】Sn＝【小结】本题考查等差数列求和及错位相减法求和．练习 1：（2014·江西卷）已知首项都是 1 的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0．（1）令 cn＝，求数列{cn}的通项公式；（2）若 bn＝3n－1，求数列{an}的前 n 项和 Sn．【解题过程】【解析】（1）因为 anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0（n∈N*），所以－＝2，即 cn＋1－cn＝2，所以数列{cn}是以 c1＝1 为首项，d＝2 为公差的等差数列，故 cn＝2n－1．（2）由 bn＝3n－1，知 an＝（2n－1）3n－1，于是数列{an}的前 n 项和 Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2n－1）×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋（2n－3）×3n－1＋（2n－1）×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）×3n＝－2－（2n－2）×3n，所以 Sn＝（n－1）3n＋1．例 2（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1．（1）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）证明＋＋…＋＜．【点拨】（1）根据等比数列的定义证明是等比数列求得{an}的通项公式；（2）≤，于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<证毕．【解析】（1）由 an＋1＝3an＋1 得 an＋1＋＝3．又 a1＋＝，所以是首项为，公比为 3 的等比...
