阶段质量检测(三)三角恒等变形(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算sin21°cos9°＋sin69°sin9°的结果是()A.B.C．－D．－2．(辽宁高考)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－C.D．13．(重庆高考)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．34．(新课标全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝5．(山东高考)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝()A.B.C.D.6．已知sin＝，则sin2x的值为()A.B.C.D.7．若α，β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ的值为()A.B.C.或D．－8．函数y＝sinxcosx＋cos2x的图像的一个对称中心是()A.B.C.D.9．(江西高考)若tanθ＋＝4，则sin2θ＝()A.B.C.D.10．函数y＝cos2xcos－2sinxcosxsinπ的递增区间是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知cosα＝－，α∈，则tan等于________．12．已知sin＋cos＝，那么cos2θ的值为________．13．△ABC的三个内角为A，B，C，当A为________时，cosA＋2cos取得最大值，且这个最大值为________．14．已知α是第二象限角，且sinα＝，则＝________．三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简－2cos(α＋β)．16．(本小题满分12分)已知sin(5π＋α)＝－，且α∈，tanβ＝.(1)求tan(α－β)的值；(2)求sin的值．17．(本小题满分12分)(北京高考)已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．18．(本小题满分14分)(安徽高考)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．答案1．解析：选B原式＝sin21°cos9°＋sin(90°－21°)sin9°＝sin21°cos9°＋cos21°sin9°＝sin30°＝.2．解析：选A∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝2，∴sin2α＝－1.3．解析：选A依题意得则tan(α＋β)＝＝＝－3.4．解析：选D原式＝＝＝.5．解析：选D因为θ∈，所以2θ∈，所以cos2θ<0，所以cos2θ＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sinθ＝.6．解析：选Asin2x＝cos(－2x)＝cos2(－x)＝1－2sin2(－x)＝1－＝.7．解析：选B由sinα＝，α为锐角知cosα＝.∵sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β∈(，π)，∴cos(α＋β)＝－.∴cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sinαsin(α＋β)＝.8．解析：选Dy＝sin2x＋＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋，当x＝时，sin(2×＋)＝0.∴(，)是函数图像的一个对称中心．9．解析：选D法一：∵tanθ＋＝＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝.法二：∵tanθ＋＝＋＝＝∴4＝，故sin2θ＝.10．解析：选Dy＝cos2xcos＋sin2xsin＝cos(2x－)．∴2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z.∴kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.11．解析：由已知得tanα＝－，所以tan(＋α)＝＝.答案：12．解析：(sin＋cos)2＝1＋sinθ＝，sinθ＝，cos2θ＝1－2sin2θ＝.答案：13．解析：cosA＋2cos＝cosA＋2sin＝1－2sin2＋2sin＝－2sin2＋2sin－1＝－2(sin－)2＋，当sin＝，即A＝60°时，得(cosA＋2cos)max＝.答案：60°14．解析：∵α为第二象限角，∴cosα＝－＝－.＝＝＝－.答案：－15．解：法一：原式＝－2cos(α＋β)＝－2cos(α＋β)＝－cos(α＋β)＝＝＝.法二：原式＝＝.＝＝.16．解：(1)由条件得sinα＝.又α∈(，π)，所以tanα＝－.故tan(α－β)＝＝－2.(2)由条件得sinα＝.又α∈(，π)，得cosα＝－.所以sin2α＝2××(－)＝－，cos2α＝(－)2－()2＝.故sin(2α＋)＝－×＋×＝.17．解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为.因为f(x)＝(sinx－cosx)＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为(k∈Z)．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．18．解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．(1)f(x)＝4cosωx·sin＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
