高中数学 数学归纳法课后练习 新人教版选修2-2VIP免费

数学归纳法课后练习用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥3)．求证：6)12)(1(21222nnnn．用数学归纳法证明不等式：1…＋＋＋＋＜2(n∈N*)．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2，3…，(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2．在数列}{na中，33,2111nnnaaaa，求数列}{na的通项公式．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4并由此猜想通项an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋(n＝1,2…，)．(1)证明：an＞对一切正整数n都成立；(2)令bn＝(n＝1,2…，)，判断bn与bn＋1的大小，并说明理由．数列}{na中，)1(2,25211nnnaaaa)(Nn，用数学归纳法证明：)(2Nnan．设数列a1，a2…，，an…，中的每一项都不为0．证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*…，都有＋＋＋＝．是否存在常数a、b、c，使等式2222(1)1223(1)()12nnnnanbnc对一切正整数n都成立？证明你的结论．数学归纳法课后练习参考答案见详解．详解：证明：(1) 三角形没有对角线，∴n＝3时，f(3)＝0，命题成立．(2)假设n＝k(k≥3)时，命题成立，即f(k)＝k(k－3)，则当n＝k＋1时，凸k边形由原来的k个顶点变为k＋1个顶点，对角线条数增加k－1条．∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1＝k(k－3)＋k－1＝(k＋1)[(k＋1)－3]．∴当n＝k＋1时命题成立，由(1)，(2)可知对任何n∈N且n≥3，命题恒成立．见详解．详解：(1)当n=1时，左端=1，右端=16)12)(11(1，左端=右端，等式成立；(2)假设n=k时，等式成立，即6)12)(1(21222kkkk，则6]1)1(2][1)1)[(1()1(6)12)(1()1(2122222kkkkkkkkk所以，当n=k+1时，等式仍然成立．由(1)(2)可知，对于n*N等式依然成立．见详解．详解：证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2．左边＜右边，所以不等式成立，②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1…＋＋＋＋＜2．那么当n＝k＋1时，1＋…＋＋＋＋＜2＋＝＜＝＝2．这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立．（1）a2＝3，a3＝4，a4＝5，an＝n＋1(n≥1)；（2）见详解．详解：(1)由a1＝2，得a2＝a12－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a32－3a3＋1＝5，由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2．根据①和②，对于所有n≥1，都有an≥n＋2．53nan．详解：,73,632121aa,93,8323aa猜想53nan．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，215131a，猜想成立．（2）假设当n=k时猜想成立，则13333533(1)535kkkakaakk．当n=k+1时猜想也成立．综合（1）（2），对n*N猜想都成立．(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝(n∈N*)；（2）见详解．详解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：当n＝1时，a1＝1,结论成立．假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1(k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1．∴ak＋1＝＝＝，这表明n＝k＋1时，结论成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．∴an＝(n∈N*)．（1）见详解；（2）bn＋1＜bn．详解：(1)证明：当n＝1时，a1＝2＞，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*)时，ak＞成立．那么当n＝k＋1时，ak＋12＝ak2＋＋2＞2k＋3＋＞2(k＋1)＋1．∴当n＝k＋1时，ak＋1＞成立．综上，an＞对一切正整数n都成立．(2) ＝＝·＜·＝＝＝＜1．故bn＋1＜bn．见详解．详解：(1)当n=1时，2251a，不等式成立．(2)假设当n=k时等式成立，即)(2Nkak，则2)1(2221kkkaaa0)1(2)2(2kkaa，21ka．当n=k+1时，不等式也成立．综合（1）（2），不等式对所有正整数...