§2.3数学归纳法(二)一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3…＋＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋42．“用数学归纳法证明2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n”都成立时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．63．已知f(n)＝1…＋＋＋＋(n∈N＋)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是()A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对4．…用数学归纳法证明不等式＋＋＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是()A．增加了一项B．增加了两项和C．增加了B中的两项，但又减少了一项D．增加了A中的一项，但又减少了一项5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．二、能力提升6．“用数学归纳法证明n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9”整除，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)37．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为()A．f(k)＋k－1B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－28．≤对于不等式n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1≤时，1＋1，不等式成立．②假设n＝k(n∈N*)≤时，不等式成立，即k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确9．…用数学归纳法证明＋＋＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________________．10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．11…．求证：＋＋＋>(n≥2，n∈N*)．12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．三、探究与拓展13．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．答案1．D2．C3．C4．C5．Sn＝6．A7．A8．D9.…＋＋＋＋＋>－10．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．证明(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，…即＋＋＋>.则当n＝k＋1时，……＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.∴Sn＝－(n≥2)．则有：S1＝a1＝－，S2＝－＝－，S3＝－＝－，S4＝－＝－，由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．(2)假设n＝k(k∈N*)猜想成立，即Sk＝－成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－＝－＝－.即n＝k＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．13．证明当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，由n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．
