第5课时简单复合函数的求导法则基础达标(水平一)1.函数f(x)=(2kx)2的导数是().A.f'(x)=4kxB.f'(x)=4k2xC.f'(x)=8kxD.f'(x)=8k2x【解析】f'(x)=2(2kx)(2kx)'=8k2x.【答案】D2.若函数f(x)=3sin,则f'=().A.-3B.3C.-6D.6【解析】因为f'(x)=3cos·'=6cos,所以f'=6cos=-3.【答案】A3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为().A.1B.2C.-1D.-2【解析】设切点P(x0,y0),则y0=x0+1=ln(x0+a).又由y'==1,解得x0+a=1,∴y0=0,x0=-1,∴a=2.【答案】B4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=().A.0B.1C.2D.3【解析】令f(x)=ax-ln(x+1),则f'(x)=a-.由f'(0)=a-1=2,得a=3.故选D.【答案】D5.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【解析】设P(x0,y0),因为y=e-x,所以y'=-e-x.故点P处的切线斜率为k=-=-2,所以-x0=ln2,得x0=-ln2,所以y0=eln2=2,即点P的坐标为(-ln2,2).【答案】(-ln2,2)6.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为.【解析】∵y'=-2e-2x,∴y'|x=0=-2,切线方程为y=-2x+2.1∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0),(1,0),.∴三角形的面积S=×1×=.【答案】7.设函数f(x)=x+ln(x-5),g(x)=ln(x-1),解不等式f'(x)>g'(x).【解析】因为f'(x)=1+,g'(x)=,由f'(x)>g'(x),得1+>,即>0,解得x>5或x<1.又两个函数的定义域为即x>5,所以不等式f'(x)>g'(x)的解集为(5,+∞).拓展提升(水平二)8.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率等于().A.2eB.eC.2D.1【解析】y'=ex-1+xex-1=(1+x)ex-1,∴y'|x=1=2,即曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率k=2.【答案】C9.已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是().A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.a∈R且a≠0,a≠-1【解析】假设存在实数m,使直线l是曲线y=f(x)的切线,∵f'(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,∴方程sin2x+2a=-1有解,∴-1≤a≤0.故所求a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞),故选B.【答案】B10.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=.【解析】因为f'(x)=-sin(x+φ),2所以f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sin.若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,即2sin=0,所以φ+=kπ(k∈Z).又φ∈(0,π),即φ=.【答案】11.若点P是曲线y=ex+1上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.【解析】根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex+1相切于点(x0,y0),该切点即为与直线y=x距离最近的点.如图,则在点(x0,y0)处的切线斜率为1,即当x=x0时,y'=1.因为y'=(ex+1)'=ex+1,所以=1,得x0=-1,代入y=ex+1,得y0=1,即P(-1,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为.3
