椭圆与双曲线的中点弦问题例1、已知双曲线2212yx,过点(1,1)P能否作一条直线l,与双曲线交于AB、两点,且点P是线段AB的中点?分析:画出草图,审题首先需要大胆设相关量(直线的方程,点的坐标等)然后进行分析尝试:一是韦达定理法(弦长和中点问题常用);二是点差法(中点和斜率的问题常用).xxy0PlAB例1、已知双曲线-=2212yx,过点(1,1)P能否作一条直线l,与双曲线交于AB、两点,且点P是线段AB的中点?xxy0PlAB11221212(,)(,)+x+y1=,1=,22lAxyBxyxy解：假设存在这样的直线，设则22112222,1(1)21(2)2AByxyxìïï-=ïïï\íïï-=ïïïî在双曲线上12121212+-+y-yxxxx1即（）（）-（y）（y）=02l所以直线方程为y-1=2(x-1)即y=2x-1点差法1212-y2-xABykx\==2222430012xxyxìïïïÞ-+=\D<íï-=ïïîy=2x-1但l\不存在这样的直线22221212(1)(2)--y1得（）-（y）=02xx-例1、已知双曲线-=2212yx,过点(1,1)P能否作一条直线l,与双曲线交于AB、两点,且点P是线段AB的中点?xxy0Pll解：假设存在这样的直线，则由题知斜率一定存在l设直线的方程为y-1=k(x-1)2222有(2-k)x+(2k-2k)x-k+2k-3=0（1）=2解得kl所以直线方程为y-1=2(x-1)即y=2x-1韦达定理法k=2代入(1)得<0Dl\不存在这样的直线112212(,)(,)+x2AxyBxyx22设则2k-2k2-k=-=22(1)112ykxyx又由ì=-+ïïïíï-=ïïî练习巩固:1、若椭圆+=221369xy的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为()(A)2(B)-2(C)13(D)-122、设AB、是双曲线-=2212yx上的两点,点(1,2)N是线段AB的中点，求直线AB的方程;D=+1yx变式:椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点，过原点与线段MN的中点的直线斜率22，则nm的值是()(A)22(B)322(C)229(D)2732A例2、过点A()21，的直线与双曲线2212yx-=交于MN、两点，求弦MN的中点P的轨迹方程.解：设Mxy()11，，Nxy()22，，p(x,y)则221122221212yxyxìïï-=ïïïíïï-=ïïïî又两式相减得1212-y1-2MNAPykkxxx-===-y又21y2xyx-\-=所以所求中点P的轨迹方程是2240xxyy--+=12121212+-+y-yxxxx1（）（）-（y）（y）=021212++yxx=2x,y=2y121212122(+)-y+y-xxxxy即=y11221212(,)(,),+x+yx=,=,22AxyBxyABxyy解：设，的中点M(x,y)21,44,lyABABp+=2x变式练习、倾斜角为的直线交椭圆与两点，求线段中点的轨迹方程221122221414xyxyìïï+=ïïïíïï+=ïïïî又12121212+-+y-yxxxx1两式相减得（）（）+（y）（y）=0412121212+-y+y)-xxxxy即-=4(y1212-y-xxx\y-=4y1212-ytan1-4xxp==ABy又k=45455,5AB线段中点的轨迹方程为x+4-
