第2章直线和圆的方程[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)直线的倾斜角与斜率【例1】(1)已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α＜120°，直线l的斜率k的范围是()A．－＜k≤0B．k＞－C．k≥0或k＜－D．k≥0或k＜－(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．(1)C[通过画图可知k＜－或k≥0.故选C.](2)[解]由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0.求直线的倾斜角与斜率的注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．[跟进训练]1．已知直线ax＋y＋2＝0及两点P(－2,1)，Q(3,2)，若直线与线段PQ相交，则实数a的取值范围是()A．a≤－或a≥B．a≤－或a≥C．－≤a≤D．－≤a≤A[因为直线ax＋y＋2＝0过定点A(0，－2)，根据题意画出几何图形如图所示：直线ax＋y＋2＝0可化为y＝－ax－2，因为P(－2,1)，Q(3,2)，则kAP＝＝－，kAQ＝＝.若直线y＝－ax－2与线段PQ相交，即－a≥或－a≤－，所以a≤－或a≥.]求直线的方程【例2】已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：(1)AC所在的直线的方程；(2)点B的坐标．[思路探究](1)直线AC过A点且与BH垂直，可求直线方程．(2)B点在直线BH上，线段AB的中点在中线CM上，列方程组求得B点坐标．[解](1)因为AC⊥BH，所以设AC所在的直线的方程为2x＋y＋t＝0.把A(5,1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11.所以AC所在的直线的方程为2x＋y－11＝0.(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为.联立得方程组化简得解得故B(－1，－3)．求直线方程的方法求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况．[跟进训练]2．已知△ABC中，A(1,3)，AB，AC边上中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程.[解]设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点， 点B在中线y－1＝0上，∴设点B的坐标为(xB,1)． 点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)，∴点D的坐标为. 点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5.∴点B的坐标为(5,1)． 点C在直线x－2y＋1＝0上，∴设点C的坐标为(2t－1，t)．∴AC的中点E的坐标为. 点E在中线BE：y＝1上，∴＝1，∴t＝－1.∴点C的坐标为(－3，－1)，∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.两直线的平行、垂直及距离问题【例3】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．[思路探究](1)把(－3，－1)代入l1方程，同时运用垂直条件A1A2＋B1B2＝0；(2)利用好平行条件及距离公式列方程．[解](1) l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2) l1∥l2且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0. 原点到l1与l2的距离相等，∴4＝，解得a＝2或a＝.因此或距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．[跟进训练]3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．[解](1)...
