3.1.3两角和与差的正切课时目标1．能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝____________________________________.(2)T(α－β)：tan(α－β)＝___________________________________.2．两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝__________________________________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝_________________________.tanα·tanβ＝____________________________________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝______________________________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝____________________.tanαtanβ＝______________________________________.一、填空题1.＝________.2．已知α∈，sinα＝，则tan的值等于________．3．若sinα＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tanβ的值是________．4．已知tan＝2，则的值为________．5．已知tanα＝，tanβ＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是________．6．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC的形状是________三角形．7．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________．8．在△ABC中，角C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为________．9．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.10．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.二、解答题11．在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求tan(α＋β)的值；能力提升13．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.(1)求证：tanA＝2tanB；(2)设AB＝3，求AB边上的高．1．公式T(α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan＝1，tan＝，tan＝等．要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.3．公式T(α±β)的变形应用只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．3．1.3两角和与差的正切知识梳理1．(1)(2)2．(1)tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α＋β)1－(2)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tan(α－β)－1作业设计1．－2.3.－74.解析∵tan＝2，∴＝2，解得tanα＝.∴＝＝＝＝.5.6．钝角解析tanA＋tanB＝，tanA·tanB＝，∴tan(A＋B)＝，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－，∴C为钝角．7．1解析原式＝tan10°tan20°＋tan20°＋tan10°＝(tan10°＋tan20°＋tan10°tan20°)＝tan30°＝1.8.解析tan(A＋B)＝－tanC＝－tan120°＝，∴tan(A＋B)＝＝，即＝，解得tanA·tanB＝.9．－解析＝＝＝＝－.10．1解析tanβ＝＝.∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα.∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1.∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.11．解由tanB＋tanC＋tanBtanC＝，得tanB＋tanC＝(1－tanBtanC)．∴tan(B＋C)＝＝，又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝.又tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，∴tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴tan(A＋B)＝＝－，而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，∴A＝，B＝C＝.∴△ABC为钝角等腰三角形．12．解由条件得cosα＝，cosβ＝.∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.tan(α＋β)＝＝＝－3.13．解tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝>0.而α∈(0，π)，故α∈(0，)．∵tanβ＝－，0<β<π，∴<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，∴－π<α－β<－.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，∴2α－β＝－.14．(1)证明∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，∴⇒⇒＝2，所以tanA＝2tanB.(2)解∵
